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Detto questo, continuo la trattazione sulle successioni ricorsive lineari non omogenee (perché so che ormai vi siete molto appassionati...
).
Dunque, per ricavare la soluzione con un metodo generalizzabile, ho bisogno di definire due condizioni iniziali:
X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)+n
Ora questa è una successione ricorsiva (in quanto il termine
n-esimo è definito in base ad alcuni elementi che lo precedono, in questo caso l'
(n-1)-esimo), lineare perché i termini sono tutti di primo grado (non ci sono quadrati o altre potenze), non omogenea perché c'è un termine noto f(n)=n.
Consideriamo prima la successione omogenea associata, cioè quella priva del termine noto.
X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)
Si supponga che esista una soluzione del tipo:
X(n) = A*h^n
Se si considera l'equazione caratteristica associata, che sarebbe:
h^n = h^(n-1)
Da cui dividendo tutto per h^(n-1) otteniamo subito:
h = 1
E utilizzando le condizioni iniziali:
X(2) = A*h^n = A*1^n = 1
Da cui si ricava che A = 1.
Quindi la soluzione cercata è:
X(n) = 1*1^n = 1
Eureka è vero, la successione omogenea associata è la successione costante!
Supponiamo ora che esista una soluzione della successione completa (non omogenea) della forma:
X(n) = A*n^2 + B*n
Utilizzando le condizioni iniziali si ricava il sistema di equazioni:
X(1) = A*1^2 + B*1 = A + B = 0
X(2) = A*2^2 + B*2 = 4*A + 2*B = 1
Tralasciamo i calcoli banali da cui si ricava facilmente che A = 1/2 e B = -1/2.
Quindi la soluzione cercata è:
X(n) = 1/2*n^2 - 1/2*n
Che - eureka - è uguale alla formula di Gauss!
Ora vi lascio come compito di trovare la soluzione della successione ricorsiva seguente:
X(0) = 2
X(1) = 7
X(n) = 2*X(n-1) - X(n-2)
E' divertentissimo!
.....
