MoonwatcherII

Inauguro questo topic in cui chi vuole può proporre dei problemi matematici che i gentili utenti sono invitati a risolvere, topic la cui mancanza è fortemente avvertita da tutti.

Ok, iniziamo con le successioni ricorsive...

Sia data la successione 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... dei numeri primi.

Trovare una formula esplicita per calcolare il termine n-esimo di questa successione.

Ok, sto scherzando.

Copio la mia sbrodolata scritta nel topic del gioco di Kos90, così chi si vuole scervellare ancora un po' si accomodi pure...

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Detto questo, continuo la trattazione sulle successioni ricorsive lineari non omogenee (perché so che ormai vi siete molto appassionati... ).

Dunque, per ricavare la soluzione con un metodo generalizzabile, ho bisogno di definire due condizioni iniziali:

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)+n

Ora questa è una successione ricorsiva (in quanto il termine n-esimo è definito in base ad alcuni elementi che lo precedono, in questo caso l'(n-1)-esimo), lineare perché i termini sono tutti di primo grado (non ci sono quadrati o altre potenze), non omogenea perché c'è un termine noto f(n)=n.

Consideriamo prima la successione omogenea associata, cioè quella priva del termine noto.

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)

Si supponga che esista una soluzione del tipo:

X(n) = A*h^n

Se si considera l'equazione caratteristica associata, che sarebbe:

h^n = h^(n-1)

Da cui dividendo tutto per h^(n-1) otteniamo subito:

h = 1

E utilizzando le condizioni iniziali:

X(2) = A*h^n = A*1^n = 1

Da cui si ricava che A = 1.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1*1^n = 1

Eureka è vero, la successione omogenea associata è la successione costante! ^^

Supponiamo ora che esista una soluzione della successione completa (non omogenea) della forma:

X(n) = A*n^2 + B*n

Utilizzando le condizioni iniziali si ricava il sistema di equazioni:

X(1) = A*1^2 + B*1 = A + B = 0
X(2) = A*2^2 + B*2 = 4*A + 2*B = 1

Tralasciamo i calcoli banali da cui si ricava facilmente che A = 1/2 e B = -1/2.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1/2*n^2 - 1/2*n

Che - eureka - è uguale alla formula di Gauss! ^^

Ora vi lascio come compito di trovare la soluzione della successione ricorsiva seguente:

X(0) = 2
X(1) = 7
X(n) = 2*X(n-1) - X(n-2)

E' divertentissimo!

nsssp

io in passato mi ero dilettato a risolvere problemi di geometria analitica in 2 e 3 dimensioni, ma per breve tempo..

Kos90

Ok, questo l'ha già risolto Clan, io PENSO di aver capito, ma mi serve un nuovo esercizio!!

MoonwatcherII

Adesso penso a qualcosa, intanto prova con la successione dei numeri primi!

Kos90

Per ora ho fatto una tabella n=X ovvero 1=2 2=3 3=5 4=7 5=11....sto andando un pò ad intenti, ora sto lavorando su n^2 - (n+1), lo sò che è sbagliata ma era giusto per informazione. Ora vado a mangiare, poi mi guardo un film e intanto cerco di capire. Però non dite subito la soluzione, ci posso arrivare con calcoli non troppo complessi? C'è di mezzo il 3,14?
A pancia piena lavoro meglio.

forse: c'è differenza tra n-esimo pari e n-esimo dispari....

MoonwatcherII

Tranquillo che nessuno posterà subito la soluzione...

Kos90

Te credo, è praticamente impossibile....magari è più probabile trovarne una escludendo 2,3,5 e 7....

p.s. a qualcuno piacciono i cifrari e crittografia?

PriccoPracco

Chi trova la soluzione che vince?

clanghetto

Non vorrei dire puttanate ma non esiste una formula per soli numeri primi....infatti la loro determinazione è uno dei problemi della matematica. Ci sono degli algoritmi tipo il crivello di Eratostene e altre robe.


CMQ KOS puoi provare a determinare quella della somma dei quadrati dei numeri. Detta alla moon:

X(0)=0
X(1)=1
X(2)=5
X(n)=X(N-1)+n^2

Mock Turtle

Mmm...
Ma utilizzare il bellissimo* topic "La Settimana Sociofobistica" per postare quesiti logico-matematici, indovinelli linguistici, rebus, crittografie, enigmi, sciarade, logogrifi, etc.etc... no, eh?

*(valutazione disinteressata )

MoonwatcherII

Mock nella settimana enigmistica non ho mai visto problemi di matematica pura come il calcolo dell'area di una superficie curvilinea, problema la cui risoluzione d'altra parte è molto divertente e caruccia.

Kos90

Questa non mi riesce...voi l'avete trovata la soluzione?
Ma sopratutto: in quella del primo esempio io ci sono arrivato con la logica a capire la soluzione, ma non sò se esiste una formula o una regola precisa per trovarla, esiste?
Alcune soluzioni che ho trovato ma che non sono valide sono:
n^2+(n-1)^2
oppure
n/2*(n-1)^2 + n^2
oppure sono simili, ma non valgono per tutti i numeri...per ora mollo.

MoonwatcherII

Devi supporre che la soluzione sia un polinomio di terzo grado:

X(n) = A*n^3 + B*n^2 + C*n + D

Detto questo dovresti pervenire alla soluzione utilizzando i valori iniziali. Mi pare che però hai bisogno di un terzo valore iniziale che è X(3) = 14.

Kos90

A ok, infatti stavo già lavorando su 5 valori(1,5,14,30,55) (per la verifica), però x(0) non deve essere considerato giusto? Altrimenti diventa di secondo grado.

MoonwatcherII

Non ho capito cosa vuoi dire, cosa ha X(0) che non va?

Kos90

ok....ci penso un pò su....

Kos90

Allora, non ci crederai mai, stavo provando varie combinazioni, provo a spiegare brevemente cosa ho fatto:
ero a n(n+1), cercando di svilupparla in modo da farla diventare plausibile per tutti i termini. Tra varie prove, mi sono accorto che n(n+1) dava 1*2, 2*3, 3*4,...gli ho messi in fila e inizialmente ho provato a fare 1*2*3, 2*3*4, 3*4*5,... e come risultato davano 6,24,60,... che sono divisibili per 6 e solo il primo era corretto. Così ho provato ha cambiare la seconda mettendo un 5 al posto del 4 e come risultato dava 30, che diviso 6 dà 5!! Con la terza serie provai a sostituire il 5 con il 6, il risultato era divisibile per 6 ma dava 12 e non 14. Così dato che i numeri sostituiti dalle prime due serie saltavano un numero (che sono una serie ordinata di numeri dispari), ho fatto
1*2*3 = 6
2*3*5 = 30
3*4*7 = 84
che, accipicchia, se divisi per sei danno il risultato giusto!!!
Poi da qui è stato come scivolare sull'olio

n(n+1)(2n+1) ---------> (2n+1) l'ho dedotto dal fatto che sono sempre numeri dispari quelli della serie.
E quindi, dividendo per 6, la formula

x(n) = [n(n+1)(2n+1)]\6

MoonwatcherII

Beh, non è una dimostrazione, però sei arrivato alla formula giusta col metodo induttivo, complimentissimi!

clanghetto

u.u

oggi mentre facevo ripetizioni, perdevo tempo scrivendo la sequenza di fibonacci e mi sn fermato al 144 perché è il quadrato di 12. Cmq dato che è divisibile per 6, mi sn messo a pensare ad una regola per cercare i numeri divisibili per 6 e mi è venuto che sono tutti e soli quelli pari divisibili per 3 cioè quelli pari la cui somma da un numero divisibile per 3 u.u

Poi pochi minuti fa, facendo la tabellina del 6, mi sn reso conto che se si sommano le cifre la sequenza è semore 6-3-9 cioè

6 ->6
12 ->3
18 ->9
24 -> 6
30 -> 3
36 -> 9
42 -> 6
48 -> 12 -> 3
54 ->9
60 ->6

Non lo sapevo

Mock Turtle

Succede lo stesso anche con la tabellina del 3!
3 - 6 - 9 - 12 - 15 - 18 - 21 - 24 - 27 - 30 - 33 - 36 - etc.etc...