FobiaSociale.com - Un gioco: X+#n

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Re: Un gioco: X+#n

Ah, ho capito anch'io!
Però è vero, bisognerebbe usare la calcolatrice a sto punto...
11175....

Re: Un gioco: X+#n

11935

Detto questo, continuo la trattazione sulle successioni ricorsive lineari non omogenee (perché so che ormai vi siete molto appassionati... :D).

Dunque, per ricavare la soluzione con un metodo generalizzabile, ho bisogno di definire due condizioni iniziali:

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)+n

Ora questa è una successione ricorsiva (in quanto il termine n-esimo è definito in base ad alcuni elementi che lo precedono, in questo caso l'(n-1)-esimo), lineare perché i termini sono tutti di primo grado (non ci sono quadrati o altre potenze), non omogenea perché c'è un termine noto f(n)=n.

Consideriamo prima la successione omogenea associata, cioè quella priva del termine noto.

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)

Si supponga che esista una soluzione del tipo:

X(n) = A*h^n

Se si considera l'equazione caratteristica associata, che sarebbe:

h^n = h^(n-1)

Da cui dividendo tutto per h^(n-1) otteniamo subito:

h = 1

E utilizzando le condizioni iniziali:

X(2) = A*h^n = A*1^n = 1

Da cui si ricava che A = 1.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1*1^n = 1

Eureka è vero, la successione omogenea associata è la successione costante! :D

Supponiamo ora che esista una soluzione della successione completa (non omogenea) della forma:

X(n) = A*n^2 + B*n

Utilizzando le condizioni iniziali si ricava il sistema di equazioni:

X(1) = A*1^2 + B*1 = A + B = 0
X(2) = A*2^2 + B*2 = 4*A + 2*B = 1

Tralasciamo i calcoli banali da cui si ricava facilmente che A = 1/2 e B = -1/2.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1/2*n^2 - 1/2*n

Che - eureka - è uguale alla formula di Gauss! :D

Ora vi lascio come compito di trovare la soluzione della successione ricorsiva seguente:

X(0) = 2
X(1) = 7
X(n) = 2*X(n-1) - X(n-2)

E' divertentissimo! :D

Re: Un gioco: X+#n

Quote:

Originariamente inviata da moonwatcherII (Messaggio 464126)

E' divertentissimo! :D

:eek:.....:cool:

12090.....

Re: Un gioco: X+#n

Moon tu hai deciso di farmi impazzire, ammettilo! :D
12403.....

Re: Un gioco: X+#n

13203

Ma nessuno vuol risolvere il mio problema? :blink:

Re: Un gioco: X+#n

Quote:

Originariamente inviata da moonwatcherII (Messaggio 464752)

13203

Ma nessuno vuol risolvere il mio problema? :blink:

13336 ^^

MOON io mi sn trovato x(n)=5n+2

Re: Un gioco: X+#n

Quote:

Originariamente inviata da moonwatcherII (Messaggio 464126)

11935

Detto questo, continuo la trattazione sulle successioni ricorsive lineari non omogenee (perché so che ormai vi siete molto appassionati...).

Dunque, per ricavare la soluzione con un metodo generalizzabile, ho bisogno di definire due condizioni iniziali:

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)+n

Ora questa è una successione ricorsiva (in quanto il termine n-esimo è definito in base ad alcuni elementi che lo precedono, in questo caso l'(n-1)-esimo), lineare perché i termini sono tutti di primo grado (non ci sono quadrati o altre potenze), non omogenea perché c'è un termine noto f(n)=n.

Consideriamo prima la successione omogenea associata, cioè quella priva del termine noto.

X(1)=0
X(2)=1
X(n)=X(n-1)

Si supponga che esista una soluzione del tipo:

X(n) = A*h^n

Se si considera l'equazione caratteristica associata, che sarebbe:

h^n = h^(n-1)

Da cui dividendo tutto per h^(n-1) otteniamo subito:

h = 1

E utilizzando le condizioni iniziali:

X(2) = A*h^n = A*1^n = 1

Da cui si ricava che A = 1.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1*1^n = 1 X(n) inteso come X(2) giusto?

Eureka è vero, la successione omogenea associata è la successione costante! :D

Supponiamo ora che esista una soluzione della successione completa (non omogenea) della forma:

X(n) = A*n^2 + B*n

Utilizzando le condizioni iniziali si ricava il sistema di equazioni:

X(1) = A*1^2 + B*1 = A + B = 0
X(2) = A*2^2 + B*2 = 4*A + 2*B = 1

Tralasciamo i calcoli banali da cui si ricava facilmente che A = 1/2 e B = -1/2.

Quindi la soluzione cercata è:

X(n) = 1/2*n^2 - 1/2*n

Che - eureka - è uguale alla formula di Gauss! :D

Ora vi lascio come compito di trovare la soluzione della successione ricorsiva seguente:

X(0) = 2
X(1) = 7
X(n) = 2*X(n-1) - X(n-2)

E' divertentissimo! :D

Mi piacerebbe risolvere il problema se lo avessi capito....ho afferrato il concetto, però alcuni punti mi sfuggono (quelli in neretto).
Poi altra cosa, nel problema non si può semplificare X(n)= 2xn -2x -xn +2x = xn ??
Non dico altro perchè se prima non capisco c'è poco da fare :D

13500......

Re: Un gioco: X+#n

13665

Quote:

Originariamente inviata da Kos90 (Messaggio 464775)

Poi altra cosa, nel problema non si può semplificare X(n)= 2xn -2x -xn +2x = xn ??

Ma no!!! :laugh:

X(n) NON significa X*n cioè X moltiplicato per n, bensì X funzione di n. :yes:

La soluzione di clang mi sembra corretta, ma puoi postare anche il procedimento con cui l'hai ottenuta?

Re: Un gioco: X+#n

Quote:

Originariamente inviata da moonwatcherII (Messaggio 464779)

13665

Ma no!!! :laugh:

X(n) NON significa X*n cioè X moltiplicato per n, bensì X funzione di n. :yes:

La soluzione di clang mi sembra corretta, ma puoi postare anche il procedimento con cui l'hai ottenuta?

13831.....

Si, quello lo sò, io dicevo X(n) = nx (semplificato)

Re: Un gioco: X+#n